Pochodna topologiczna i skończone modyfikacje topologii w optymalnym projektowaniu konstrukcji tarczowych i płytowych (Topological derivative and finite topology modifications in optimal design of plates in plane state of stress and bending plates)

Bojczuk, Dariusz (2020)
Pochodna topologiczna i skończone modyfikacje topologii w optymalnym projektowaniu konstrukcji tarczowych i płytowych (Topological derivative and finite topology modifications in optimal design of plates in plane state of stress and bending plates).
Monografie, Studia, Rozprawy (M132).
Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce.
ISBN 978-83-65719-90-4
stron: 167

Preview

Tekst Bojczuk_M132.pdf Download (1MB) | Preview

Streszczenie

W monografii przedstawiono metodykę wyznaczania pochodnej topologicznej oraz zastosowanie tej pochodnej do wspomaganego komputerowo optymalnego projektowania konstrukcji tarczowych i płytowych. Przy użyciu metody układów sprzężonych sformułowano jednolite podejście do wyprowadzania wzorów na pochodne topologiczne. Polega ono na zastosowaniu analizy wrażliwości ze względu na ekspansję otworów czy inkluzji do wyznaczenia ogólnych wzorów na pochodne topologiczne. W celu uzyskania szczegółowych zależności konieczna jest znajomość stanów naprężenia, odkształcenia oraz przemieszczenia na brzegu otworu (inkluzji) i w jego otoczeniu oraz graniczne zachowanie tych stanów przy znikaniu otworów (inkluzji). W przypadku otworów kołowych i eliptycznych oraz inkluzji kołowych dla tarcz oraz w przypadku otworów kołowych dla płyt do wyprowadzenia zależności na pochodne topologiczne użyto odpowiednich rozwiązań analitycznych teorii sprężystości. Z kolei w sytuacji braku rozwiązań analitycznych dla konstrukcji zmodyfikowanych wprowadzeniem otworu (inkluzji) pochodną topologiczną można, na podstawie wzorów ogólnych, oszacować numerycznie. W pracy wprowadzanie włókien i żeber usztywniających potraktowano także jako modyfikacje topologiczne. Wówczas, wybierając jako parametry topologiczne odpowiednio udział objętościowy włókien oraz szerokość żeber, wyprowadzono wzory na pochodne topologiczne przy wykorzystaniu teorii homogenizacji. Należy zauważyć, że przedstawione rozważania łączące obliczanie pochodnych topologicznych z analizą wrażliwości umożliwiają jednolite podejście do optymalizacji topologii i kształtu. W celu przyspieszenia procesu optymalizacji w monografii zaproponowano usuwanie takich obszarów skończonych, gdzie odpowiednie pochodne topologiczne osiągają odpowiednio małe lub odpowiednio duże wartości. Sformułowano również warunki wprowadzania zarówno skończonych, jak i nieskończenie małych modyfikacji. Na tej podstawie zaproponowano algorytmy heurystyczne złożone z dwóch wzajemnie powiązanych ze sobą etapów, a mianowicie optymalizacji topologii oraz optymalizacji kształtu i wymiarów. Takie podejście zastosowano także do zagadnień obejmujących wprowadzanie elementów usztywniających. Rozwiązane przykłady numeryczne potwierdzają skuteczność i użyteczność sformułowanych algorytmów. Ponadto w monografii analizowano problemy optymalnej naprawy i/lub optymalnego wzmacniania niepodlegających modyfikacji płyt oraz tarcz przez wprowadzanie dodatkowych elementów czy struktur wzmacniających. Zaproponowano odpowiedni algorytm heurystyczny optymalizacji oraz rozwiązano przykłady numeryczne ilustrujące jego działanie. (Methods of topological derivative determination and their application in computer aided optimal design of plates in plane state of stress and bending plates is considered in the paper. The uniform approach to derivation of expressions for topological derivatives is presented using adjoint method. At first sensitivity analysis with respect to expansion of holes and inclusions is considered and next on this basis general formulae are derived. In order to get detailed expressions the knowledge of stress, strain and displacement states on the boundary between structure and hole or inclusion and their behavior in the case of the hole or inclusion disappearance, is required. Using known solutions from the elasticity theory the detailed formulae for topological derivatives were presented for introduction of circular and elliptical holes and circular inclusions for plates in plane state of stress and for introduction of circular holes for bending plates. However, when the lack of analytical solutions occurs, topological derivative can be estimated numerically using general formulae. In this monograph introduction of stiffening fibers and ribs was also treated as topology modifications. Then, choosing appropriate topological parameters, namely non-dimensional volumetric fiber concentration and width of ribs and next using homogenization theory to determine stiffness coefficients for reinforced structure, expressions for topological derivatives were derived. It is important to notice that the approach presented here enables uniform analysis of shape and topology optimization. However in order to accelerate the optimization process using knowledge of the topological derivative field in the structure domain it is proposed to remove of some subdomains, where topological derivative attains respectively small (big) values. The corresponding conditions of topology modifications were formulated. On this basis heuristic algorithms composed of two mutually interacted steps, namely topology optimization and shape with size optimization, are formulated. This approach is also extended for problems with introduction of reinforcing elements. The numerical examples confirm applicability and usefulness of the formulated algorithms. Also, the problem of optimal repair and/or optimal reinforcement of plates in unmodifiable state by introduction of additional elements or stiffening substructures, was formulated. The algorithm of optimal design was proposed and illustrative examples were solved.)

Biblioteka Cyfrowa

Podgląd