Analiza wybranych liniowych obwodów elektrycznych z elementami niecałkowitego rzędu (Analysis of linear electrical circuits with the use of fractional-order elements)

Zawadzki, Andrzej (2019)
Analiza wybranych liniowych obwodów elektrycznych z elementami niecałkowitego rzędu (Analysis of linear electrical circuits with the use of fractional-order elements).
Monografie, Studia, Rozprawy (M113).
Wydawnictwo Politechniki Świętokrzyskiej, Kielce.
ISBN 978-83-65719-53-9
stron: 209

Preview

Tekst Zawadzki_Analiza_M113.pdf Download (2MB) | Preview

Streszczenie

różniczkowo-całkowy niecałkowitego rzędu (Fractional Calculus), rozwijany intensywnie od strony aparatu matematycznego, znalazł jak dotąd nieliczne zastosowania w elektrotechnice, a głównie w teorii obwodów elektrycznych. Klasyczne podejście do analizy układów elektrycznych i ich modelowania zwykle pomija efekty wynikające z nieidealności elementów (stratność, nieliniowość, niejednorodność). Ten fakt jak i też pojawienie się nowych elementów i urządzeń elektrotechnicznych: superkondensatorów, rezystorów z pamięcią, nazywanych „memrystorami”, czy cewek indukcyjnych z efektem wypierania prądu (ang. Inductance with a skin effect), stały się przyczyną wprowadzenia elementów niecałkowitego rzędu jako pewnego uogólnienia elementów klasycznych. Mimo że narzędzia stosowane w analizie są bardziej zaangażowane matematycznie i bardziej skomplikowane, niż w realizacji klasycznej, to jednak zastępowanie tradycyjnych modeli obwodowych przez modele wywodzące się z rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu prowadzi do wierniejszego opisu rzeczywistych elementów. Zastosowanie rachunku niecałkowitego rzędu otworzyło nowy obszar zastosowań dający możliwości przybliżenia elementów rzeczywistych w stopniu, który nie był możliwy do osiągnięcia w przypadku podejścia klasycznego. W pracy przedstawiono analizę wybranych liniowych obwodów elektrycznych z elementami niecałkowitego rzędu. W wyniku przeprowadzonych studiów literaturowych dokonano wyboru pojęć niezbędnych do analizy wybranych układów elektrycznych. Zamieszczono definicje podstawowych pochodnych niecałkowitego rzędu, funkcji specjalnych (gammy Eulera Γ(x), Mittaga-Lefflera) oraz hipergeometrycznych (Lommela i Whittakera) stosowanych do wyznaczania analitycznych postaci pochodnych niecałkowitego rzędu. Omówiono metody opisu ciągłych układów dynamicznych niecałkowitego rzędu oraz aproksymacji operatora różniczkowania niecałkowitego rzędu, tj. metodę CFE (Continued Fraction Expansion) i metodę Oustaloupa. Metody te posłużyły do sformułowania transformat Laplace’a w postaci wielomianów rzędów całkowitych wykorzystanych między innymi do analizy stanów nieustalonych. Wyznaczono analityczne postacie pochodnych Riemanna-Liouville'a i Caputo typowych sygnałów wymuszających występujących w obwodach i układach elektrycznych. Wprowadzono koncepcję elementu uogólnionego niecałkowitego rzędu oraz podano warunki zapewnienia jego spójności wymiarowej. Główny obszar badań dotyczył opisu rozważanych obwodów równaniami różniczkowymi niecałkowitego rzędu zwyczajnymi (obwody z elementami RLαCα, w tym czwórniki i filtry) oraz cząstkowymi (linia długa). Wyznaczono analityczne postaci rozwiązań takich równań oraz przeprowadzono eksperymenty numeryczny potwierdzające prawidłowość uzyskanych wyników. (Fractional Calculus whose mathematical apparatus has been extensively developed has found few applications in electrical engineering, mainly in the theory of electrical circuits. Classical approach to the analysis of electrical systems and their modelling does not usually deal with the problems resulting from the imperfectness of components (losses, nonlinearity, heterogeneity). This fact as well as the emergence of new electrotechnical elements and devices including supercapacitors, memory resistors, called "memristors", or inductance coils with a skin effect, has resulted in the use of fractional-order elements as generalizations of classical elements. Although the Fractional Calculus tools are more advanced mathematically and more complex than those of classical method, the replacement of traditional circuit models with those derived from Fractional Calculus leads to more accurate description of the real elements. The use of Fractional Calculus has opened new areas of application that make it possible to approximate real elements to the degree unattainable in classical approach. The monograph presents the analysis of the selected linear circuits with the use of fractional-order elements. Based on the literature the concepts necessary for the analysis of the discussed electrical circuits were selected.Definitions of basic fractional derivatives, special (gamma Euler Γ(x), Mittaga-Leffler) and hypergeometric functions (Lommel and Whittaker) used to determine analytical forms of fractional derivatives were presented. The methods describing continuous fractional-order dynamical systems and the approximation of fractional differential operator, that is, CFE (Continued Fraction Expansion) as well as Oustaloup approximation method were discussed. These methods were applied to obtain Laplace transforms in the form of integer-valued polynomials used, among others, for the analysis of transient states. The analytical forms of the Riemann-Liouville and Caputo derivatives of typical input signals occurring in electrical circuits and systems were determined. The concept of a generalized fractional-order element was introduced and the conditions for its dimensional coherence were presented. The main research area was focused on the description of the considered circuits with the use of ordinary fractional differential equations (circuits with RLαCα, elements, including two-port networks and filters) and partial fractional differential equations (long line).The analytical solutions of the above equations were determined and the results were confirmed by numerical experiments.)

Biblioteka Cyfrowa

Podgląd